FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRADO PERFECTO , BINOMIOS CON JUGADOS,TRINOMIOS CUADRATICOS, FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRATICOS, INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLES

FACTORIZACION DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.

BINOMIOS CONJUGADOS:
En álgebra, un binomio es una expresión algebraica con dos términos. Estrictamente hablando se refiere a un polinomio formado por la suma de dos monomios
Al efectuar productos con binomios que tienen los mismos términos podemos obtener lo siguiente: (a+b)²= (a+b)(a+b)
Bajo la definición estricta, son binomios las expresiones:

$x^2-3y, \qquad 5a+\sqrt{3}$

mientras que no lo son expresiones tales como:

$\cos(x)-\tan(x),\qquad e^{x}-1, \qquad x^2-\sqrt{x+1}$

puesto que alguno de sus términos no es un monomio, aunque en un contexto más informal podría llamarse binomio a cualquier expresión que involucre una suma o resta de dos expresiones. Así, es posible encontrar en un libro de álgebra un ejercicio en la sección de "binomios al cuadrado" que diga «Calcula el resultado de (cos(x)+sen(x))²».

Grado de un binomio

Para hallar el grado de un binomio :Éste se calcula sumando los exponentes de cada término algebraico. La mayor suma es el grado. (x+y)(x+y)= (x+y)2= x2 + 2x2y + y2

Así, en el binomio $a^2b^5c^2d-b^3c^9d^2\,$ el primer monomio tiene grado 2+5+2+1 = 10, mientras que el grado del segundo es 3+9+2 = 14, por lo que el binomio tiene grado 14.

Productos notables

Artículo principal: Productos notables

Representación gráfica de la regla de factor común

Existen ciertas fórmulas que permiten multiplicar ciertos polinomios de forma directa (sin realizar la multiplicación completa). Tales fórmulas se denominan productos notables y muchas de ellas se refieren a operaciones con binomios. Estos productos suelen ser estudiados con detalle en los primeros cursos de álgebra.
TRINOMIOS CUADRATICOS:

TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS

Esta es la factorizacion del primer tipo de trinomio cuadrado perfecto, en el cual todos los terminos son positivos:

Se colocan dos parentesis y en medio de los dos lugares que ocuparan sus terminos se coloca un signo positivo.
Se saca la raiz cuadrada del primer termino.
Se saca la raiz cuadrada del tercer termino.
Es necesario verificar que se cumpla que el segundo termino se efectivamente dos veces ambas raices cuadradas.


	Este es el segundo tipo de trinomio cuadrado perfecto, se diferencia del anterior en que el segundo termino, es negativo: Se factoriza de la misma manera que el anterior, solamente con la diferencia que entre los terminos hay un signo negativo, dentro de cada factor.

TRINOMIOS CUADRATICOS

Esta es la factorizacion de un trinomio cuadratico del tipo mas elemental. La regla para factorizar este tipo de expresiones consiste en lo siguiente:

Se colocan dos parentesis.
En medio de cada parentesis se coloca el mismo signo que tiene el segundo termino (bx).
Se buscan dos numeros (h y k) que multiplicados (hk) nos den el tercer termino (c), y que sumados (h+k) nos den el coeficiente numerico del segundo termino (b).
La primera posicion de cada factor determinado lo ocupara la raiz cuadrada de la letra comun.
La segunda posicion la ocuparan los terminos encontrados (h y k)

TRINOMIOS CUADRATICOS GENERALES

Esta es la factorizacion de un trinomio cuadratico general. El procedimiento mas facil es por ensayo y error y se realiza de la siguiente manera:

Se colocan dos grupos de parentesis
Se copia el signo del segundo factor enmedio del primer parentesis
Se coloca el producto de signos del segundo y del tercer factor en medio del segundo parentesis
Se busca por ensayo y error dos numeros que multiplicados nos den el coeficiente numerico del primer factor (h y m) y dos numeros que multiplicados nos den el tercer termino (k y n).
Si los numeros probados se multiplican de la manera que se ilustra y cumplen con la condicion establecida, entonces se colocan donde corresponde.

INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLES:

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

Ejemplo

Cambios de variables usuales

5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

6. Si

es par:

7. Si

no es par:

COMO SE REALIZA EL PRODUCTO DE DERIVADAS

Derivada de un producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Ejemplos

SUMA, RESTA, MULTIPLICACION, DIVISION EN FRACCION

SUMA: Hay dos casos:

Fracciones que tienen el mismo denominador;
Fracciones que tienen el distinto denominador

Primer caso: la suma de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo:

4		2		6
----	+	----	=	---
5		5		5

Segundo caso: la suma de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso:

1º. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores
2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por denominador antiguo
3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mimos denominador

RESTA: Hay dos casos:

fracciones que tienen el mismo denominador;

fracciones que tienen el distinto denominador

Primer caso: la resta de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que restar los numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo:

7
2
5

----
-
----
=
---

9
9
9

Segundo caso: la resta de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso:

1º. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores
2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por denominador antiguo
3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)

MULTIPLICACION: Es muy sencillo. Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican "en línea". Esto es, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.

Ejemplo:

3		7		3x7		21
----	x	----	=	-------	=	---
2		4		2x4		8

DIVISIÓN: Es muy sencillo. Para dividir dos o más fracciones, se multiplican "en cruz". Esto es, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción (ya tenemos el numerador) y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción (este es el denominador).

Ejemplo:

4		3		4x9		36
----	:	----	=	-------	=	---
5		9		5x3		15

GLOSARIO

Derivada

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Diferencial. Es el margen o porcentaje que se suma al valor del índice que se pactado como referencia (euribor, mibor, IRPH de cajas, bancos, CECA, Deuda Pública...), en el momento de la revisión del tipo de interés, de un préstamo hipotecario contratado a tipo variable o mixto.
Si un cliente tiene contratado un préstamo hipotecario al euribor más un punto y el euribor está en el 4%, el nuevo tipo de interés del crédito será el 4% más el punto, 1%, establecido en el diferencial, es decir, un 5%.
En resumen, en una oferta de préstamo hipotecario:
Indice (ej. eurribor) + diferencial = tipo de interés ofertado
Se trata pues de una variable a contrastar entre las ofertas disponibles en el mercado y a negociar con las entidades financieras (bancos, cajas...) que nos den condiciones más ventajosas. Recordamos que más que un buen diferencial, hay que conseguir una buena TAE.

INTEGRAL IMDEFINIDA:
En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F₁ y F₂ son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F₁ = F₂ + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

$\int{f}$ ó $\int{f(x)dx}$

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

FUNCION PRIMITIVA:

una funcion primitiva es aquella que despues de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integracion no vuelve exactamente a su funcion original

ej:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano.

Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.

ANTIDERIVADA:

Definición :

Se llama antiderivada de una función f definida en un conjunto D de números reales a otra función g

derivable en D tal que se cumpla que:

Teorema :

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales,

entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de

f es en ese conjunto D se puede escribir como , c constante real

RADICALES: